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Système binaire

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Le système binaire est le système de numération en base 2, parfois appelé simplement base 2. Il ne possède que deux chiffres (appelés bits) : 0 et 1, contrairement au système plus couramment utilisé, le système décimal, qui compte dix chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, et 9.

Exemple de nombres en binaire

Utilité[modifier | modifier le wikicode]

Le système binaire est employé depuis la généralisation de l'informatique. En effet, c'est plus facile de construire des circuits électroniques capables de mémoriser 2 états, plutôt que 10. Par exemple :

  • Dans un circuit à 2 transistors appelé bascule bistable, l'un des transistors conduit le courant l'autre non. Selon le transistor qui conduit, on mémorise soit 1 soit 0.
  • En sortie d'un circuit électrique, la tension est proche de 0 Volts ou de la tension d'alimentation (par exemple 5 Volts). Il y a 2 états électriques possibles que l'on peut noter 0 et 1.

Les microprocesseurs des ordinateurs ne comprennent que le langage binaire. Mais il est facile de passer d'une base vers une autre. L'utilisateur peut saisir au clavier des nombres en base 10, l'afficheur d'une calculatrice ou l'écran d'un ordinateur donne aussi le résultat des calculs en base 10, mais entre temps, les nombres saisis ont été convertis en base 2, mémorisés en base 2, les calculs ont été faits en base 2 et c'est seulement le résultat qui est converti en base 10 pour être affiché. Au niveau de l'électronique mise en œuvre, c'est plus simple de faire comme ça que de rester du début à la fin en base 10.

Principe de représentation des nombres[modifier | modifier le wikicode]

Comme le système décimal, le binaire est un système positionnel : les nombres s'écrivent comme une succession de chiffres dont la signification dépend de leur position dans le nombre. Ce n'est pas le cas avec les chiffres romains pour lesquels des caractères différents existent pour 1, 10, 100 et 1000, tout comme pour 5, 50 et 500.

Un entier écrit en système décimal peut être décomposé en une somme de chiffres multipliés chacun par une puissance de 10. Chaque position est 10 fois plus forte que celle à sa droite : le chiffre des centaines est 10 fois plus fort que le chiffre des dizaines, qui est lui-même 10 fois plus fort que le chiffre des unités.

Par exemple, le nombre 791 peut s'écrire à raison d'un chiffre par ligne dans la colonne de gauche de ce tableau. Dans la colonne de droite, on écrit 1 tout en bas, puis sur chaque ligne, 10 fois la valeur qu'il y a juste au dessous :

Chiffres Puissances de 10
7 100
9 10
1 1

En multipliant entre elles les valeurs de chaque ligne du tableau, puis en additionnant les résultats on obtient :

7x100 + 9x10 + 1x1 = 791

La manière dont on a décomposé dans un tableau puis reconstitué un nombre en base 10 peut s'utiliser en base 2 ou dans n'importe quelle autre base.

Par exemple, pour la valeur binaire 1100010111 on écrit un chiffre par ligne dans la colonne de gauche de ce tableau. Dans la colonne de droite, on écrit 1 tout en bas, puis sur chaque ligne, 2 fois la valeur qu'il y a juste au dessous :

Bits Puissances de 2
1 512
1 256
0 128
0 64
0 32
1 16
0 8
1 4
1 2
1 1

En multipliant entre elles les valeurs de chaque ligne du tableau, puis en additionnant les résultats on obtient :

1×512 + 1×256 + 0×128 + 0×64 + 0×32 + 1×16 + 0×8 + 1×4 + 1×2 + 1×1 = 791

Mais comme dans la colonne de gauche, il n'y a que des 0 et des 1, il suffit d'additionner entre eux les nombres de la colonne de droite pour lesquels le bit de la colonne de gauche vaut 1. Ce qui donne :

512 + 256 + 16 + 4 + 2 + 1 = 791

Conversion d'un nombre décimal en nombre binaire[modifier | modifier le wikicode]

Pour convertir un nombre décimal en nombre binaire, il suffit de connaître les puissances de 2. Voici les 10 premières (en commençant par 2⁰): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512.

Exemple : 54.
On y trouve une fois 32, on peut donc déjà écrire 100000 (1×2⁵).
Le reste vaut 22. On y trouve une fois 16, on peut donc écrire un deuxième 1 : 110000 (1×2⁵ + 1×2⁴).
Le reste vaut 6. On y trouve zéro fois 8, on peut donc laisser un 0 : 110000 (1×2⁵ + 1×2⁴ + 0×2³).
Le reste vaut toujours 6. On y trouve une fois 4, on peut donc écrire un autre 1 : 110100 (1×2⁵ + 1×2⁴ + 0×2³ + 1×2²).
Le reste vaut 2. On y trouve une fois 2, on peut donc écrire un autre 1 : 110110 (1×2⁵ + 1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 1×2¹).
Le reste vaut 0. On y trouve zéro fois 1, on peut donc laisser un 0 : 110110 (1×2⁵ + 1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 0×2⁰).
On arrive donc à 110110, pour 54.

Une méthode plus détaillée et plus générale (car elle marche pour les autres conversions) est la suivante. Elle utilise la division entière, ou division euclidienne. On va écrire le nombre de droite à gauche (du chiffre le moins important au plus important).

  • Étape 1 : Effectuer la division entière du nombre par 2. On obtient un quotient et un reste, qui vaut soit 0 soit 1.
  • Étape 2 : Écrire le reste de la division à gauche du nombre binaire.
  • Étape 3 : Reprendre à l'étape 1 avec le quotient de la division à la place du nombre de base.

Lorsque le quotient vaut 0, on a le nombre en binaire.

Exemple : Écriture de 45 en binaire.

  • 45 = 22×2 + 1. Le quotient vaut 22 et le reste vaut 1. On écrit 1 pour notre nombre binaire : 1.
  • 22 = 11×2 + 0. Le quotient vaut 11 et le reste vaut 0. On écrit 0 à gauche du nombre binaire : 01.
  • 11 = 5×2 + 1. Le quotient vaut 5 et le reste vaut 1. On écrit 1 à gauche du nombre binaire : 101.
  • 5 = 2×2 + 1. Le quotient vaut 2 et le reste vaut 1. On écrit 1 à gauche du nombre binaire : 1101.
  • 2 = 1×2 + 0. Le quotient vaut 1 et le reste vaut 0. On écrit 0 à gauche du nombre binaire : 01101.
  • 1 = 0×2 + 1. Le quotient vaut 0 et le reste vaut 1. On écrit 1 à gauche du nombre binaire : 101101.

Le quotient vaut 0, on a donc terminé. Le nombre 45 en binaire s'écrit 101101.

Cette méthode est appelée méthode du changement de base et fonctionne dans n'importe quelle base b, en divisant par b au lieu de 2. Le reste ne vaut pas toujours 0 ou 1 dans les autres bases.

Écriture des premiers entiers[modifier | modifier le wikicode]

Pour compter en base 2 et dans n'importe quelle base, on peut utiliser la même méthode. Lorsqu'on a un nombre quelconque et qu'on souhaite connaître le nombre suivant, il suffit d'ajouter 1 au dernier chiffre (chiffre des unités, à droite). Si ce chiffre est déjà le plus grand (9 en décimal, 1 en binaire par exemple), on le remet à 0 et on ajoute 1 au chiffre à sa gauche. Si ce chiffre est déjà le plus grand, on le remet aussi à 0 et on ajoute 1 au chiffre à sa gauche. Ainsi de suite jusqu'à trouver un chiffre inférieur au maximum. Si on arrive au dernier chiffre et qu'il est aussi au maximum (par exemple dans le nombre 999 en décimal, ou 1111 en binaire), on ajoute un 1 à gauche. On peut considérer que le chiffre à sa gauche n'est pas écrit mais qu'il vaut simplement 0. Lorsqu'on ajoute 1 à ce chiffre, il devient 1.

Voici l'écriture des 16 premiers entiers naturels en binaire :

En base 10 en binaire ou encore
0 0 0000
1 1 0001
2 10 0010
3 11 0011
4 100 0100
5 101 0101
6 110 0110
7 111 0111
8 1000 1000
9 1001 1001
10 1010 1010
11 1011 1011
12 1100 1100
13 1101 1101
14 1110 1110
15 1111 1111

L'écriture de la colonne de droite est plus proche du fonctionnement interne des ordinateurs dans lesquels les nombres entiers sont représentée sous la forme d'une série de n bits avec n = 8, 16, 32 ou 64 bits presque toujours.

Opérations[modifier | modifier le wikicode]

Un avantage du système binaire est que ses tables d'addition et de multiplication sont très simples.

Addition Retenue Résultat
0 + 0 0 0
0 + 1 0 1
1 + 0 0 1
1 + 1 1 0

Du point de vue de l'électronique dans les ordinateurs, le résultat de l'addition des 2 bits est à 1 lorsque l'un des deux bits, mais seulement un seul est à 1, alors que la retenue est à 1 lorsque les 2 bits sont à 1 tous les deux.

Multiplication Résultat
0 x 0 0
0 x 1 0
1 x 0 0
1 x 1 1

Du point de vue de l'électronique dans les ordinateurs, le résultat de la multiplication des 2 bits est à 1 seulement lorsque les 2 bits sont à 1 tous les deux (comme pour la retenue de l'addition).

Pour effectuer une addition ou une multiplication, on utilise la même méthode qu'en décimal, en posant l'addition ou la multiplication, mais en utilisant les tables ci-dessus.

Exemples :

10100111001 + 11000110101 = 101101101110

100111 * 110010 = 11110011110

Ce qu'il faut comprendre[modifier | modifier le wikicode]

Le système binaire ou Base 2 semble difficile pour un cerveau humain mais un ordinateur fonctionne très rapidement et le système binaire est le plus simple pour une machine. Le cerveau humain n'est pas un ordinateur et s'il semble lent par rapport à un ordinateur, il est capable de réflexion.

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