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Application (mathématiques)
Une application est la donnée :
- d'un ensemble E appelé ensemble de définition de f ;
- d'un ensemble F, appelé ensemble d'arrivée de f ;
- et d'une relation permettant d'associer à tout élément x de E un et un seul élément de F, noté f(x).
L'élément de x s'appelle l'image de x par f.
On note l'application et on dit alors que f est une application de E dans F.
Exemple : Pendant la récréation, Jean joue aux billes. Jean possède 33 billes. Il prête une partie de ses billes à ses deux petits frères Luc et Paul. Il prend trois sacs, il place 14 billes dans le premier sac qu'il garde pour lui, place 10 billes dans le deuxième sac qu'il donne à Luc, et enfin place 9 billes dans le troisième sac qu'il donne à Paul. Jean ne le sait peut-être pas, mais il a défini une application de l'ensemble de ses 33 billes dans l'ensemble de ses trois sacs :
- l'ensemble de ses 33 billes est l'ensemble de définition ;
- l'ensemble de ses trois sacs est l'ensemble d'arrivée ;
- à chacune de ses 33 billes est associé le sac dans lequel Jean l'a glissée.
Autre exemple : l'addition des entiers naturels peut être vue comme une application :
- l'ensemble de définition est l'ensemble des paires d'entiers naturels ;
- l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des entiers naturels ;
- à deux entiers naturels est associée leur somme.
Nombres d'applications
Soient E et F deux ensembles finis de cardinaux respectifs p et n. L'ensemble des applications A(E, F) de E dans F est fini et le nombre d'applications de E dans F est égal à np.
Bijection, injection et surjection
Décomposition canonique
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