Équivalence

l'Équivalence est une notion mathématique. Équivalent vent dire identique, pareil (deux surfaces équivalentes sont deux surfaces identiques).

Définition

Avoir une équivalence entre deux choses signifie que l'une entraîne l'autre. En logique mathématique, on utilise le signe $\leftrightarrow$ pour signifier une équivalence. Si $P$ et $Q$ sont deux propriétés, alors l'équivalence $P\leftrightarrow Q$ signifie :

• $P$ est vraie entraine que $Q$ est vraie
• $P$ est fausse entraine que $Q$ est fausse
• $Q$ est vraie entraine que $P$ est vraie
• $Q$ est fausse entraine que $P$ est fausse

Attention, il ne faut pas confondre équivalence et implication.

Résolution d'un problème

Pour résoudre un problème mathématique comme une équation, on utilise souvent le raisonnement par équivalence. Exemple :

Résoudre l'équation $3x+2=x-1$:

${\begin{aligned}&3x+2=x-1\\&\Leftrightarrow 2x+2=1\\&\Leftrightarrow 2x=-1\\&\Leftrightarrow x={\frac {-1}{2}}\\\end{aligned}}$

Le raisonnement par équivalence permet de montrer que l'équation $3x+2=x-1$ est équivalente à $x={\frac {-1}{2}}$. Ce nombre en est donc l'unique solution.

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