Équation aux dimensions

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Une équation aux dimensions est, en physique ou en mathématiques, une manière de savoir la grandeur physique (ou dimension) et donc l'unité de mesure du résultat d'un calcul.

Lorsqu'il y a un problème de physique un peu compliqué, la technique de l'équation aux dimensions permet de répondre à la question « quelle grandeur physique suis-je en train d'évaluer ? ». On appelle aussi cela l'analyse dimensionnelle.

Principes[modifier | modifier le wikicode]

Les nombres en physique ont tous une unité : ce sont des masses, des vitesses, des temps...

Dans une équation en physique, deux membres de l'équation (c'est-à-dire des nombres ou des lettres qui les représentent) ne peuvent être comparés directement que s'ils sont de la même grandeur physique : comme écrire une égalité entre A et B. On dit alors qu'ils sont homogènes et ils s'écrivent donc dans la même unité.

Par contre on a besoin de multiplier ou diviser différentes grandeurs physiques, et plusieurs d'entre elles sont définies à partir de multiplication ou division des autres. grandeurs. Les grandeurs physiques ont donc des relations qui sont fixées par définition.

Grandeur physiques ou dimensions[modifier | modifier le wikicode]

Par convention, on note les unités entre crochets, avec par exemple, le temps [T], la masse [M]. Mais seules 7 grandeurs physiques ont une lettre qui les symbolise. Ce sont :

Les autres grandeurs sont définies en combinant les premières : par exemple : La vitesse est un rapport d'une distance par un temps :

[V]=[L].[T]-1.

la superficie est une longueur au carré :

[L]2,

le volume est une longueur au cube :

[L]3,

Une masse volumique est un rapport d'une masse par un volume :

[ρ]=[M].[L]-3.

Une énergie est une masse multipliée par une aire divisée par une durée au carré :

[E]=[M].[L]2.[T]-2.

Calculs[modifier | modifier le wikicode]

À partir d'une équation entre différentes grandeurs qui sont multipliées ou divisés entre elles une ou plusieurs fois, une équation aux dimensions consiste à se servir des définition des grandeurs physiques pour ensuite simplifier (réduire) une équation et trouver l'unité du résultat.

  • Quand on multiplie plusieurs fois la même grandeur, on utilise les puissances : par exemple [L] x [L] équivaut à [L]2,
  • quand on divise une ou plusieurs fois par une grandeur, cela se note avec une puissance négative. Par exemple [L] ÷ [T] ou [L]/[T] s'écrit [L].[T]-1.

Puis on applique les règles des puissances pour simplifier une équation.

Après la simplification, on cherche à quelle définition de dimension le résultat correspond. Si, par exemple, un résultat s'exprime dans les mêmes unités qu'une vitesse, c'est peut-être une vitesse...

Comme prédire une relation ?[modifier | modifier le wikicode]

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  • Mouvement d'une balle :

Un homme lance une balle. On dispose de :

  • Sa masse m ;
  • La hauteur h à laquelle la balle est lancée ;
  • Sa vitesse initiale v.

On souhaite connaître le temps t au bout duquel la balle atterrit. On écrit :

1=[t]a.[m]b.[h]c.[v]d=[M]b. [L]c+d.[T]a-d.

Ce qui donne :

b=0 ;
et a=d=-c.

Donc :

[t]=[h].[v]-1.

Par conséquent, le temps de chute est proportionnel à la hauteur que divise la vitesse. En particulier, le temps de chute de la balle ne dépend pas de sa masse.

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