Triangle isocèle

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Un triangle isocèle. Les deux côtés portant une marque sont égaux.

Un triangle isocèle est un triangle dont deux côtés sont égaux en longueur.

Plus exactement, un triangle ABC est dit isocèle en A lorsque les longueurs des côtés [AB] et [AC] sont égales.

Propriétés du triangle isocèle[modifier]

  • Le triangle ABC est isocèle en A si et seulement si le point A appartient à la médiatrice du segment [BC].

Si H est la projection orthogonale de A sur la droite (BC), les triangles AHB et AHC sont rectangles en H. Le théorème de Pythagore s'applique et donne :

AB²  =  AH²  +  HB²  ; et  AC²  =  AH²  +  HC².

L'égalité des longueurs AB et AC équivaut donc à l'égalité des longueurs HC et HB. Comme H appartient à la droite (BC), cette égalité signifie exactement que le point H est le milieu du segment [AB]. Par conséquent, AB=AC si et seulement si le point A se projette orthogonalement sur le milieu du segment [BC]. Ou encore : le triangle ABC est isocèle en A si le point A appartient à la médiatrice du segment [BC].

  • Le triangle ABC est isocèle en A si les angles en B et en C ont même mesure.

Supposons que le triangle ABC soit isocèle en A. Alors la propriété précédente implique que A appartienne à la médiatrice de [BC]. En particulier, la symétrie axiale d'axe la médiatrice fixe le point A. Par ailleurs, elle envoie B sur C et C sur B. Elle envoie donc l'angle en B sur l'angle en C. Comme les symétries axiales préservent les mesures d'angles, les angles en B et en C ont donc même mesure.

Supposons que les angles B et en C aient les mêmes mesures. Appelons comme ci-dessus H le projeté orthogonal de A sur la droite (BC). Comme le triangle AHB est rectangle en H, le rapport de BH par AH est égal par définition à la tangente de l'angle en B. De même, le rapport de AH par CH vaut la tangente de l'angle en C. Par conséquent, les longueurs BH et CH sont égales : H est nécessairement le milieur du segment [BC]. Le point A appartient donc à la médiatrice du segment [BC] ; autrement dit le triangle ABC est isocèle en A.


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