Règle de trois

En mathématiques, la règle de trois est une méthode pour trouver le quatrième terme parmi quatre termes ayant un même rapport de proportion lorsque trois de ces termes sont connus. Elle utilise le fait que le produit du premier et du quatrième terme est égal au produit du second et du premier.

Explication de la méthode

On suppose que a, b et c sont des nombres relatifs donnés et x un nombre inconnu. Si a, b et c, x sont dans le même rapport de proportion, c'est-à-dire si $\frac a b = \frac c x$ ou $\frac b a = \frac x c$ alors $x = c \times \frac b a$.

On peut aussi utiliser le produit en croix (expliqué plus bas), qui semble plus simple et plus rapide, mais qui revient au même.

Exemples d'utilisation

Exemple

Une voiture roule à vitesse constante et peut rouler 240 kilomètres en 3 heures (cas 1). Quelle distance la voiture peut-elle parcourir en 7 heures (cas 2) ?

Posons t₁ = 3 (heures), d₁ = 240 (kilomètres) et t₂ = 7 (heures). On cherche la distance parcourue par la voiture dans le cas 2 (c'est-à-dire quand elle roule 7 heures), notée d₂ = ?

Comme la vitesse de la voiture est constante, elle est la même dans le cas 1 et dans le cas 2 : v₁ = v₂.

Or $vitesse = \frac {distance} {temps}$, donc : $v_1 = v_2 \Longleftrightarrow \frac {d_1} {t_1} = \frac {d_2} {t_2}$.

Comme on cherche d₂, on transforme l'équation pour le faire apparaître : $d_2 = \frac {d_1 \times t_2} {t_1}$.

On remplace par les valeurs : $d_2 = \frac {240 \times 7} {3} = 560$ (km)

On peut aussi retrouver le résultat par étapes :

• la voiture parcourt 240 kilomètres en trois heures ;
• en une heure, elle fait trois fois moins, soit $\frac {240} 3$ kilomètres.
• en 7 heures, sept fois plus, soit $\frac {240} 3 \times 7$ kilomètres : 560 kilomètres.

Le produit en croix

Principe

Le « produit en croix » est un moyen plus visuel d'appliquer une règle de trois. Avec les valeurs du schéma, il dit que a × d = b × c.

On « trace » en fait une croix entre les différentes valeurs (sur le schéma, a, b, c et d). Par exemple :

• on part de a, et l'on trace la première branche de la croix : on arrive en d ;
• de d, on va en b ;
• en l'on dessine la dernière branche de la croix : on va en c.

Ce qui est facile avec le produit en croix, c'est qu'il faut toujours faire les mêmes opérations ! Entre la première valeur (a) et la deuxième (d), on fait une multiplication. Entre la deuxième (d) et la troisième (b), on divise. Et la dernière valeur (c) est égale au résultat de nos opérations !

Résolution de l'exemple avec le produit en croix

On avait $\frac {d_1} {t_1} = \frac {d_2} {t_2}$ et l'on cherchait d₂. En appliquant le produit en croix, on fait comme avec a, b, c et d : $\frac {d_1 \times t_2} {t_1} = d_2$ !

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