Méthode de Héron

Une page de Vikidia, l’encyclopédie junior
Aller à la navigation Aller à la recherche
Héron d'Alexandrie.

La méthode de Héron est un algorithme pour trouver une bonne approximation d'une racine carrée. On dit que c'est une méthode d'extraction de la racine carrée.

Pourquoi ne pas utiliser une calculatrice ?[modifier | modifier le wikicode]

Une calculatrice dispose souvent d'une touche √. Lorsqu'on tape √ et 5, la calculatrice fournit en effet une bonne approximation de √5. Alors pourquoi vraiment s'embêter ?

En fait, les calculatrices se contentent d'exécuter des programmes, c’est-à-dire la traduction d'algorithmes dans une machine. Pour les extractions de racines carrées, les calculatrices et les ordinateurs disposent de meilleurs algorithmes que la méthode de Héron. Cependant, il a fallu que des mathématiciens développent ces algorithmes. Pour cela, ils ont dû réfléchir sur la façon d’obtenir des approximations de racines carrées.

Par ailleurs, dans un système informatique, les nombres ne peuvent pas dépasser une certaine taille à cause de la capacité limitée de la mémoire : au-delà d’une certaine longueur, ils sont « coupés » (on dit tronqués). Par conséquent, l'exécution des programmes sur des calculatrices peut conduire à de petites erreurs. L'accumulation d'erreurs peut rendre un résultat grossièrement faux ! Il faut avoir une idée des calculs réalisés et du résultat final pour pouvoir le contrôler.

La méthode de Héron a l'avantage de pouvoir s’effectuer « à la main », sans calculatrice !

Histoire[modifier | modifier le wikicode]

Cette méthode était connue des Babyloniens. Ils l'ont appliquée pour trouver une bonne approximation de la racine carrée de 2.

Elle porte néanmoins le nom de Héron d'Alexandrie. En fait, l'existence des civilisations babyloniennes fut oubliée jusqu'à la fin du XIXe siècle. Babylone reste un mystérieux nom de ville mentionné dans l'Ancien Testament. Ce sont les fouilles réalisées en Irak qui ont permis de mettre à jour les vestiges des premières civilisations, datant des IIIe et IIe millénaires av. J-C

Description de la méthode[modifier | modifier le wikicode]

L'objectif est de déterminer une bonne approximation de la racine carrée d'un nombre positif . Si on part d'une approximation de , alors les nombres et encadrent . En effet :

Si est inférieur à , alors est supérieur à .

Au contraire, si est supérieur à , alors est inférieur à .

On s'attend donc à ce que la moyenne de et de reste proche de .

La méthode de Héron est donc l'algorithme suivant :

  1. Partir d'une approximation x de √a.
  2. Remplacer x par la moyenne de x et de a/x.
  3. Recommencer tant qu’on n’a pas atteint la précision voulue.

Illustration sur un exemple[modifier | modifier le wikicode]

Par exemple, on va prendre a = 5. L'entier 2 est une première approximation de √5 car 2 * 2 font 4. C'est, bien sûr, une très mauvaise approximation, mais peu importe. Appliquons la méthode de Héron :

  • on la remplace par la moyenne de 2 et de 5/2 ; c'est 9/4 c'est-à-dire exactement 2,25.
  • on recommence : la moyenne de 9/4 et de 20/9 est 161/72. Approximativement, cela vaut 2,2361111...
  • puis, à nouveau, la moyenne de 161/72 et de 360/161 est 51 841/23 184, ce qui fait environ 2,23606797791...

Arrêtons-nous là ! Que donne la calculatrice ?

Cette méthode semble aboutir à des approximations toujours meilleures de la racine carrée de 5. Au bout de la troisième étape, on égalise presque ce que certaines calculatrices et certains ordinateurs peuvent donner !

Explication[modifier | modifier le wikicode]

Pourquoi la méthode de Héron permet-elle d'affiner à chaque étape l'approximation de la racine carrée recherchée ?

À chaque étape, la méthode de Héron consiste à remplacer une approximation de par la moyenne de et de . Le calcul donne :

Si est une approximation de à 10-3 près, alors sera une approximation de à près. Le nombre de décimales exactes double presque à chaque étape. On dit que la convergence est quadratique.


Portail des mathématiques —  Les nombres, la géométrie, les grands mathématiciens...