Factorielle

Programmation de la factorielle.

En mathématiques, la factorielle d'un nombre est le produit des nombres entiers naturels (supérieurs à 0) inférieurs ou égaux à ce nombre. Concrètement, on la définit par la formule : $n!=1\times 2\times 3\times \ldots \times (n-1)\times n.$ Par convention, on définit également $0!=1$.

• Notation : On note n! la factorielle d'un nombre n : par exemple, la « factorielle de 5 » est 5!.

Exemples

• $1!=1$
• $2!=2\times 1=2$
• $3!=3\times 2\times 1=3\times 2!=6$
• $4!=4\times 3\times 2\times 1=4\times 3!=24$
• $5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=5\times 4!=120$
• $6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=6\times 5!=720$
• etc.

Les factorielles deviennent très vite de grands nombres difficiles à calculer :

• 7! = 5 040
• 8! = 40 320
• 9! = 362 880
• 10! = 3 628 800

  …

• 25! = 2 515 511 210 043 331 000 000 000 000

Combinaisons et permutations

Les factorielles permettent d'exprimer le nombre de combinaisons possibles avec un nombre donné d'éléments. Cela peut servir dans plusieurs domaines mathématiques, comme dans celui des probabilités et en dénombrement.

Exemple d'un tirage dans une urne

Il y a trois boules dans une urne : une boule a, une boule b, une boule c.

On prend au hasard les 3 boules successivement, en tenant compte de l'ordre dans lequel on les tire. Combien y a-t-il de combinaisons possibles ? (exemple de combinaison : a-c-b)

• Il y a 3 possibilités pour la première boule.
• Pour la seconde, il ne reste plus que deux boules : il y a alors 2 possibilités.
• Pour la troisième, il n'en reste plus qu'une !
• Cela fait donc 3 × 2 × 1 = 6 combinaisons possibles (a-b-c, a-c-b, b-a-c, b-c-a, c-a-b et c-b-a)

Pour 4 boules, il y a 4! = 24 combinaisons ; pour 5 boules, 5! = 120 combinaisons, etc. Il devient très vite impossible de compter toutes les combinaisons (pour 10 boules, il y a plus de 3 millions de possibilités !), d'où l'intérêt des factorielles.

Exemple du tiercé

Le tiercé est un pari, pour une course de chevaux, dont le but est de deviner quels sont les 3 premiers chevaux à l'arrivée. Le parieur peut trouver ces 3 chevaux dans le désordre mais les trouver dans le bon ordre rapporte pour lui plus d'argent.

• Nombre de « combinaisons » possibles dans l'ordre :

  S'il y a 20 chevaux, il y a pour le premier numéro 20 possibilités, pour le deuxième 19 et pour le troisième 18. Le nombre de possibilités est donc de 20 × 19 × 18, soit écrit avec des factorielles 20! / 17! = 6 840 (le parieur a alors, s'il choisit au hasard, environ une chance sur 7 000 de gagner !).

  D'une façon générale, pour k objets à choisir parmi n objets au total, il y a ${\frac {n!}{(n-k)!}}$ possibilités d'arrangements (avec importance de l'ordre).

• Nombre de « combinaisons » possibles sans importance d'ordre :

  Il y en a moins : le parieur a beaucoup plus de chance de gagner. Par exemple, les combinaisons 1-5-7, 5-7-1 ou 7-1-5 sont les mêmes (sans importance d'ordre). On a vu, avec l'exemple du tirage dans une urne, qu'il y avait avec ces trois chiffres 3! = 6 combinaisons possibles (dans des ordres différents). Il y a donc 3! fois plus de « combinaisons dans l'ordre » que de « combinaisons dans le désordre ». Pour 20 chevaux, il y a 6 840 « combinaisons dans l'ordre » : il y a donc 10 640/6 = 1 140 « combinaisons dans le désordre » (et donc environ une chance sur 1 000 de gagner, en jouant au hasard).

  D'une façon générale, pour k objets à choisir parmi n objets au total, il y a ${\frac {n!}{(n-k)!\cdot k!}}$ possibilités de combinaisons (sans importance de l'ordre)

Le triangle de Pascal sert à calculer les coefficients binominaux.

Pour l’alléger, on note cette dernière quantité ${\binom {n}{k}}$, qui se lit « k parmi n » ; cela s’appelle un coefficient binomial.

Formule de Stirling

Certaines fonctions qu'on veut étudier en l'infini peuvent posséder des factorielles dans leurs expressions. Pour simplifier l'étude, on peut utiliser un équivalent de n! en l'infini :

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,{\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)}^{n}$.

avec e est le Nombre d'Euler (la base de la Fonction exponentielle) qui vaut 2,718.

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