Vikidia:Le Savant/FAQ/Mathématiques

Bienvenue dans les réponses du Savant sur les mathématiques.

Toutes ces questions ont été posées au savant Cogitus.
Il y a répondu du mieux qu’il a pu !

L'infini existe-t-il?

est-ce-que l'infini existe?

Il faut regarder Nombre et lecture des grands nombres. L'article qui explique l'infini n'est pas encore fait, tu veux le commencer?--Macassar ^discuter 10 janvier 2008 à 17:13 (CET)

C'est une question très passionnante.

La connaissance de l'homme semble a priori finie ; le monde qu'il observe aussi. La finitude serait donc un a priori du monde physique dans lequel l'homme vit. Pour ces raisons, les hommes ont longtemps refusé tout concept d'infini. L'infini appartiendrait à la sphère divine et échapperait à la connaissance de l'homme.

Dans un ensemble non fini, il existe une application injective qui n'est pas une bijection. C'était un paradoxe apparent qui perturbait les mathématiciens grecs des II^e et III^e ap JC.

Jusqu'au XIX^e siècle, il a été exclu en mathématiques de considérer l'existence d'ensembles infinis. (Il y a eu des exceptions.) L'étude de l'infini relevait de la théologie ou de la philosophie, et non des mathématiques. L'infini, c'était Dieu ou un Etre suprême... Par contre a été défini l'infini potentiel : c'est une quantité d'éléments qui ne peut pas être épuisée par toute quantité finie. Par exemple, les entiers premiers forment un infini potentiel : on sait le démontrer depuis Euclide.

A la fin du XIX^e siècle, Cantor a réellement étudié les ensembles ; il a posé le concept d'infini. Un ensemble infini est un ensemble qui admet une injection qui ne soit pas bijective. C'est une définition. Il a démontré que certains ensembles infinis n'étaient pas en bijection entre eux. Il existe en quelques sortes plusieurs échelles de l'infini. En particulier, l'ensemble des nombres réels ne peut pas être mis en bijection avec l'ensemble des entiers naturels.

Les idées de Cantor étaient novatrices : elles se sont heurtées au refus aux grands mathématiciens de l'époque. Il fallait par exemple considérer que les entiers naturels forment un ensemble sur lequel on peut travailler sans risquer d'aboutir à une contradiction. Les idées de Cantor ont fini par s'imposer. C'est la crise des fondements (la remise en cause des fondements des mathématiques).

Mais, existe-t-il un ensemble infini ? Intuitivement oui. L'ensemble des entiers naturels. Mais comment construit-on l'ensemble des entiers naturels ? Eh bien intuitivement, on prend 0, on ajoute 1, on obtient 1, et ainsi de suite : 2 puis 3 ... et on prend tout ce qu'on a obtenu... Cette construction intuitive d'un ensemble est illicite (on n'a pas le droit de le faire). Admettre ce genre de constructions conduit à des absurdités (des contradictions).

Sans rentrer dans les détails techniques, on ne peut pas établir l'existence des entiers naturels sans un axiome (propriété admise) qui affirme l'existence d'un ensemble infini. Il y a deux cas :

On peut construire une théorie mathématique appuyée sur un axiome affirmant l'inexistence d'un ensemble infini. Tous les ensembles seraient finis. Cette théorie est inutile et inutilisable.
On peut construire une théorie mathématique appuyée sur un axiome affirmant qu'il existe un ensemble infini. A partir de cet ensemble, on construit l'ensemble des entiers naturels. C'est dans cette théorie que les mathématiques peuvent se développer.

C'est un peu compliqué. Pour résumer : l'existence de l'infini est en mathématiques actuelles un axiome. On l'admet et on travaille avec. Octozor 13 janvier 2008 à 18:56 (CET)

Quels sont les différents types de nombres?

Bonjour Savant Cogitus, Je voudrais savoir: Qu'est-ce qu'un nombre univers? Quelle est la différence entre un nombre rationnel et un nombre irrationnel? Merci d'avance pour votre réponse.

Qu'est-ce qu'un rationnel ?: Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers relatifs. Donc, par définition, un nombre rationnel s'écrit comme une fraction, avec un numérateur et un dénominateur qui sont des entiers relatifs. A l'école primaire, on insiste surtout sur les fractions : comment on les additionne, comment on les multiplie. La fraction est la manière d'écrire ou de représenter un nombre rationnel.; Par exemple, le quotient de 2 par 3 est 2/3. Si je multiplie 2/3 par 3 j'obtiens 2. Plus généralement, pour un nombre rationnel, je peux trouver un entier non nul dont le produit avec ce rationnel donne un entier.

Qu'est-ce qu'un irrationnel ?: Le contraire d'un rationnel. C'est un nombre (réel), pour lequel le produit par un entier non nul ne donne jamais un entier !; Par exemple, la racine carrée de 2, notée √2.; Les nombres irrationnels sont nécessaires, par exemple pour décrire les rapports de longueur. La racine carrée de 2 est le rapport de la diagonale d'un carré sur la longueur de son côté. Durant l'antiquité, on disait que ces longueurs n'étaient pas "commensurables" (c'est à dire mesurables avec une même unité de longueur). Je crois que "nombre" désignait uniquement les nombres entiers ... qui commençaient avec 2. (1 était l'unité, et n'était pas considéré comme un entier, 0 n'était pas connu des Grecs.)

Développement décimal: Un nombre réel admet un développement décimal. Il s'écrit de la forme 34,564987535879.... C'est une succession de chiffres (0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9) avec une et une seule virgule. Il y a un nombre fini de chiffres avant la virgule (partie entière) et en général un nombre infini après la virgule (partie fractionnaire).; Un nombre est rationnel si son développement décimal est périodique. Autrement dit, il y a une séquence de chiffres qui se répète. Par exemple, 036 (zéro-trois-six) est une séquence de trois chiffres, et 0,036036036...036... est un nombre rationnel.; Par conséquent, on ne peut pas "écrire" un nombre irrationnel. On le définit par une propriété : la circonférence d'un cercle de rayon 1 unité (2 fois pi), la racine carrée de 10, ...

Nombre univers

Un nombre univers est un nombre très loin d'être rationnel quand on regarde son développement décimal.

Un nombre univers en base 10 est un nombre dont le développement décimal vérifie cette propriété :

Toutes les séquences finies de chiffre apparaissent. Par exemple, 609, 453 et 287 apparaissent dans son développement.

Non seulement toutes les séquences apparaissent, mais elles apparaissent une infinité de fois, et statistiquement, un nombre maximal de fois. Chaque chiffre apparaît en moyenne une fois sur 10, chaque séquence de deux chiffres une fois sur 100, chaque séquence de 3 chiffres une fois sur 1000, et ainsi de suite !

Un nombre univers est un nombre dont tous les développements en toutes les bases (pas seulement le développement décimal) vérifient des propriétés analogues.

Dur, dur à imaginer. Tellement difficile à concevoir que personne ne sait donner un exemple explicite de nombre univers. On conjecture que pi est un nombre univers. On ne voit pas trop comment le démontrer !

Par contre, les probabilités montrent que "presque" tous les réels sont des nombres univers.

Octozor 30 octobre 2008 à 13:34 (UTC)

Quelles sont les particularités du nombre, O,123456789101112131415161718...?

Ce nombre inventé par le mathématicien anglais David Gawen Champernowne en 1993 commence par 0,123456789101112131415 . Je voudrais savoir quelle est la particularité de ce nombre et si on peut écrire ce nombre sous forme d'une fraction décimale. Je pense avoir une réponse, mais je n'en suis pas sûre. Voici ma réponse : La particularité de ce nombre est qu'il est infini et que ses décimales se suivent. On ne peut pas écrire ce nombre sous forme de fraction décimale car son numérateur est infini et que son dénominateur l'est aussi. Est-ce que ma réponse est correcte? ou faut-il la formuler autrement? Ou encore ai-je tout faux! Merci beaucoup pour votre aide, savant Cogitus!

La plupart des nombres s'écrivent avec une infinité de décimales. Qu'appelles-tu numérateur et dénominateur ?

Observe bien ce nombre. Que signifient les points de suspension ? Peux-tu me donner des chiffres supplémentaires ?

Octozor 30 octobre 2008 à 15:20 (UTC)

Le nombre est: 0,12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849... ( ça ne se finit pas )

Je penses qu'on ne peux pas écrire ce nombre sous forme de fraction décimale car, sinon, son numérateur serait infini, et il serait donc impossible de trouver un dénominateur ( lorsqu'on veut mettre un nombre sous forme de fraction décimale, il faut compter le nombre de chiffres après la virgule pour trouver le dénominateur. ex: La fraction décimale correspondant au nombre 0,225 est 225/1000 car le nombre a 3 chiffres après la virgule. ) Or dans le nombre dont je parle, les décimales sont infinies et il est donc impossible de trouver le dénominateur.

Peut-être que je me trompe et que mon explication est entièrement fausse ! ;)

Savant Cogitus, aidez-moi s'il vous plaît !!

Ce genre de raisonnement abstrait me sidère par sa complexité. Franchement, j'admire et attends avec hâte la suite de l'histoire !

(un autre savant, qui se fait discret sur ce coup-là) Thilp ! 30 octobre 2008 à 16:57 (UTC)

À propos, j'espère que tu pourras ensuite écrire un magnifique article sur les nombres univers dans notre magnifique encyclopédie

Thilp ! 30 octobre 2008 à 17:00 (UTC)

Effectivement, un nombre réel se met sous la forme d'une fraction décimale ssi son développement décimal est fini. Cependant, il existe des nombres rationnels dont le développement décimal est infini (2/3 par exemple). Tu ne prouves pas que le nombre de Champernowne est irrationnel. Son développement décimal est-il périodique ?

Dans un problème, les questions ont toujours un lien entre elles

Je vois que tu as compris comment le nombre s'écrit. Les 10 premières décimales sont 0 ; 1 ; 2; 3; 4; 5; 6; 7 ; 8 ; 9. Ce sont exactement les dix chiffres de notre numération. Combien de fois le chiffre 1 apparaît-il dans les 190 premières décimales ? Pourquoi 190 d'ailleurs ?

Octozor 30 octobre 2008 à 17:24 (UTC)

Merci beaucoup Savant Cogitus! Vos réponses savantes m'ont permis de comprendre le problème et elles ont sauvé mon devoir de mathématiques (ouf!) !!!!!!!!!!! Merci! Merci! pour la petite fille de 12 ans qui voulait aller un petit peu plus loin dans la compréhension de son devoir. Je suis très content .

De rien, c'est tout naturel. Content de voir que mes questions t'ont conduit à la solution !Veux-tu créer un compte et participer à Vikidia ? Tu pourrais créer un article nombre univers par exemple (pas forcément tout de suite, rien ne presse

)

Octozor 30 octobre 2008 à 18:52 (UTC)

Ce procédé, questionner conduisant à la bonne réponse, m'évoque les dialogues de Platon (mais c'est désagréable, vu qu'on est en vacances

) Thilp ! 30 octobre 2008 à 21:10 (UTC)

et félicitations à la fillette de 12 ans pour son orthographe et son maniement de la langue admirables

Thilp ! 30 octobre 2008 à 21:10 (UTC)

Un problème de robinets (un qui s'ouvre, un autre qui fuit)

Bonjour, j'ai réussi à faire la casi-totalité de mon devoir maison de mathématiques sauf un exercice qui me pose problème. J'aimerai savoir si vous pouviez m'aider et me dire si mes réponses sont correctes! Je suis en 4e:

I / Un bassin peut être vidé par deux robinets. Le premier robinet vide le bassin en 8h, le second vide le bassin en 10h. 1) Quelle fraction du bassin est vidée en 1h, quand les deux robinets sont ouverts ensemble? Ma réponse: 1/8 + 1/10 = 9/40 -> La fraction est 9/40

2) Combien de temps faut-il pour vider le bassin dans cette situation? Ma réponse: Je calcule -> 1/9/40 =40/9 = 4,44 = 4h 26 min. Il faut 4h et 26 minutes pour vider le bassin.

3) Le bassin est rempli normalement en 6h. On oublie de fermer le premier robinet de vidange (le second est fermé). Combien de temps faudra-t-il pour remplir le bassin? Ma réponse: Je calcule -> 6/1 + 6x1/10 = 6/1 + 3/5 = 30/5 + 3/5= 33/5 = 6.6 soit 6 heures et 36 minutes.

Bonjour,

Bravo

, les deux premières réponses sont correctes, ou du moins elles correspondent exactement aux réponses qu'on attend. Cet exercice fait appel aux fractions, aux proportions et/ou à la linéarité. (voir plus loin)

Pour la question 3, la réponse que tu proposes ne me semble pas correcte. 6x1/10 représente le temps nécessaire pour remplir 1/10 du bassin. Que calcules-tu exactement ?

Les deux premières réponses correspondent exactement à ce que le professeur attend. Mais une modélisation plus fine montre que l'évolution n'est pas linéaire, et le problème sort du programme de 4e.

Quand on ouvre le robinet, le bassin se vide sous la pression de l'eau. Plus on s'enfonce sous l'eau, plus il y a de pression. Tu peux le constater si tu sais nager sous l'eau. Par conséquence, au fur et à mesure que le bassin se vide, il y a de moins en moins de pression au niveau du robinet. Donc, la vitesse à laquelle le bassin se vide diminue : plus le bassin se vide, moins vite il se vide.

Si le bassin se vide en 10 heures, alors la fraction du bassin vidée en 1h est supérieure à 1/10.

Normalement, on devrait pouvoir relier la taille du robinet au temps où bout duquel le bassin s'est vidé. (La modélisation n'est pas abordable.) Sauf erreur de ma part, on pourrait démontrer que le temps est proportionnel à la taille du robinet (~~son diamètre~~ plutôt son diamètre au carré !). Dans ce cas, on trouverait exactement les mêmes réponses. Et encore une fois bravo

Octozor 3 novembre 2008 à 14:58 (UTC)

On peut même par la suite déborder largement du programme, puisque ce que te dit Octozor est modélisable grâce a des fonctions, mais la on sort de ton programme ... Au passage, certains disent que la curiosité est un vilain défaut, j'ai toujours pensé le contraire ... et tu le prouve ;) Vivi-1 3 novembre 2008 à 19:00 (UTC)

Pour la question 3 (en supposant que ce sont des pompes à débit constant et non des robinets) tu peux reprendre le même raisonnement que pour la question 1 : en une heure, le bassin se remplit de 1/6 - 1/8 = 4/24 - 3/24 soit 1/24. Il faut donc 24 heures pour remplir le bassin initialement vide. PNLL 4 novembre 2008 à 10:52 (UTC)

Quelle est la technique à suivre (manuellement) pour déterminer le centre de symétrie d'une ellipse et tracer les axes de symétrie?

Les décimales de pi?

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