Ensemble vide

Il y a beaucoup de points verts sur cette image ; mais aucun n'appartient à la zone jaune.
L'ensemble des points verts qui appartiennent à la zone jaune est l'ensemble vide !

L'ensemble vide est l'ensemble qui ne contient aucun élément.

L'ensemble vide, que l'on note $\emptyset$, ne correspond pas à rien, au néant ; c'est l'absence. C'est en fait un ensemble qui par définition ne contient rien. Mais en tant qu'ensemble, il n'est pas rien ! Ce point est souvent difficile à comprendre. On peut, afin de mieux comprendre, comparer un ensemble à un sac : un sac vide est vide, mais le sac en lui même existe

Unique ?

Oui, l'ensemble vide est unique. C'est parce que deux ensembles A et B sont égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments. Tout élément appartenant à A doit appartenir à B et réciproquement.

Si deux ensembles A et B ne contiennent aucun élément, ces ensembles contiennent forcément exactement les mêmes éléments, parce qu'ils n'en ont pas : ils sont donc égaux ! Cette démonstration est bien sûr troublante : on ne raisonne sur aucun élément...

Existence ?

L'existence de l'ensemble vide est problématique. On ne peut pas prouver son existence ; on doit l'admettre !

Plus exactement, l'existence de l'ensemble vide équivaut à l'existence d'un ensemble. Si x est un ensemble, l'ensemble des éléments de x qui n'appartiennent pas à x est... l'ensemble vide.

S'il n'existait pas d'ensemble vide, il n'existerait pas d'ensembles. Sur quoi pourrait-on alors travailler ? Les mathématiques modernes se fondent entièrement sur les ensembles.

Propriétés

Énumérons quelques propriétés de l'ensemble vide :

• L'ensemble vide est le seul ensemble qui est inclus dans tous les ensembles : $\forall E,\emptyset \subset E$
  • En effet, l'ensemble vide ne contient aucun élément. Si A est un ensemble, tout élément de l'ensemble vide appartient à A, car justement il n'y en a pas.
  • Si un ensemble B est non vide, il contient un élément b. L'ensemble A des éléments de B distincts de b ne contient pas B. Par contraposition, si l'ensemble B est inclus dans tous les ensembles, alors B ne possède aucun élément : c'est l'ensemble vide.
• L'intersection de l'ensemble vide et d'un ensemble A est l'ensemble vide : $A\cap \emptyset =\emptyset$

Par définition, l'intersection de A et de l'ensemble vide est l'ensemble des éléments communs à A et à l'ensemble vide. Mais l'ensemble ne contient aucun élément. A fortiori, l'intersection ne contient aucun élément : c'est l'ensemble vide.

• La réunion de l'ensemble vide et d'un ensemble A est l'ensemble A : $A\cup \emptyset =A$

Par définition, cette réunion B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à l'ensemble vide. Un élément qui appartient à cette réunion B ne peut pas appartenir à l'ensemble vide, car cet ensemble ne contient aucun élément. Il appartient donc nécessairement à A. L'ensemble A et la réunion B ont donc exactement les mêmes éléments : ils sont égaux. Par conséquent, A et B sont égaux.

Exemples

• L'ensemble des entiers divisibles par 6 qui ne sont pas divisibles par 2 est l'ensemble vide. Tout entier divisible par 6 est divisible par 2 !

Voir aussi

• Ensembles disjoints

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