Ellipse

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Une ellipse ressemble à un cercle qui a été étiré ou aplati. Les planètes tournent autour d'une étoile en décrivant une ellipse. C'est l'une des raisons pour lesquelles les ellipses sont importantes (mais ce n'est pas la seule, elles sont aussi la forme de miroirs très utilisés, même en astronomie comme paraboloïdes !). Si les cercles sont des cas particuliers d'ellipses, une ellipse en général présente moins de symétrie. De façon rudimentaire une ellipse est un cercle aplati ou étiré.

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Construction d'une ellipse

Une ellipse est déterminée par une longueur d et par deux points F et F', qu'on appelle les foyers de l'ellipse. L'ellipse s'obtient en prenant tous les points dont la somme des distances aux foyers F et F' vaut d.

On trace facilement une ellipse avec une corde de longueur d attachée à deux piquets, la corde est maintenue tendue, et on obtient une ellipse avec la trajectoire qu'elle décrit.

Si un des foyers F' est très éloigné, l'ellipse devient une parabole, avec F' à l'infini, ellipse avec une extrémité à l'infini.

Elle est très utilisée comme miroir pour recevoir les ondes TV de satellites ou la lumière lointaine des étoiles dans un télescope.

Une propriété très utile celle de miroir :

Un miroir cylindrique en forme d'ellipse ou en forme d'ellipsoïde réfléchit toute la lumière ou un son, émise à partie d'un foyer F vers le second foyer F'.

Ainsi on peut éclairer un point F' à partir d'une lampe en F sans rien perdre de la lumière, utile pour éclairer un objet très petit dans un microscope qui demande beaucoup de lumière pour observer des objets de quelques microns.

Pareil avec un son émis de F qui se retrouve en entier en F'.

Un autre exemple, un tunnel d'une gare a souvent la forme d'une ellipse et un train ou TGV qui freine a les freins quasiment au foyer F et tout le son strident émis énorme ( un TGV a une puissance de freinage de plus de 100 KW ) se retrouve dans les oreilles détruites des voyageurs situés sur le quai en F'. Résultat des voyageurs ont leurs oreilles incapables d'entendre des sons aigus (environ 5KHertz ) sans savoir pourquoi. Il est utile de bien se boucher les oreilles dans un tunnel de gare en forme d'ellipse.

L'excentricité de l'ellipse est le rapport de la distance de F à F' divisé par d. Elle est positive et strictement inférieure à 1.

Si les foyers F et F' sont confondus, alors l'ellipse est un cercle de centre F et de diamètre d. Les cercles sont les ellipses d'excentricité 0.

Plus généralement, la longueur d va s'interpréter comme une sorte de diamètre de l'ellipse.

L'ellipse est aussi une conique, obtenue par intersection d'un tube rond ou d'un cône par un plan.

Par exemple pour souder 2 tubes ronds cylindriques pour évacuer les fumées d'un poêle avec un coude, il est nécessaire de tracer l'intersection en forme d'ellipse sur le cylindre avec soin, puis de couper et de souder les 2 tuyaux avec un angle à la fin.

Centre de symétrie[modifier | modifier le wikicode]

On note O le milieu du segment [FF']. C'est un centre de symétrie de l'ellipse.

En effet, comme O est le milieu de [FF'], le point F' est l'image de F par rapport à O. Si M est un point de l'ellipse, alors MF+MF'=d par définition. On note M' le symétrique de M par rapport à O. Les droites (MF) et (M'F') sont symétriques par rapport à O, donc parallèles. Pour la même raison, les droites (MF') et (M'F) sont parallèles. De fait, le quadrilatère MFM'F' est un parallélogramme (côtés opposés parallèles). Les côtés opposés d'un parallélogramme ont même longueur : MF = M'F' et MF' = M'F. Il s'en suit : M'F + M'F' = MF' + MF = d. Le symétrique M' de M par rapport à O appartient à l'ellipse.

ellipse générée à partir de 2 cercles

Grand et petit axes[modifier | modifier le wikicode]

La droite (FF') est un axe de symétrie de l'ellipse. Cet axe intersecte l'ellipse en deux points A et A', qui sont symétriques par rapport à O. Le segment [AA'] est le grand axe de l'ellipse. La distance d s'interprète comme la longueur AA'.

En effet, d'une part AA'=AF+FA', d'autre part AA'=AF'+F'A'. En additionnant, on obtient : 2AA' = (AF+AF') + (FA'+F'A') = d + d.

La médiatrice du segment [FF'] intersecte l'ellipse en deux points B et B', symétriques par rapport à O. Le segment [BB'] est appelé le petit axe de l'ellipse. Sa longueur est toujours plus petite que d. La droite (BB') est aussi un axe de symétrie de l'ellipse.

Le triangle FBF' est isocèle en B, car B appartient à la médiatrice du segment [FF']. Par conséquent, FB vaut la moitié de d.

Comme les segments [AA'] et [BB'] s'intersectent orthogonalement en leurs milieux, le quadrilatère ABA'B' est un losange. C'est un carré uniquement lorsque l'ellipse est un cercle.

Tu peux lire la définition de ellipse sur le Dico des Ados.
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