Division par zéro

Division de 1 par zéro (sous forme de fraction)

La division par zéro est la division d’un nombre par zéro.

 Que se passe-t-il quand on divise par zéro ?

On ne peut pas vraiment prévoir ce qu'il va se passer car elle n'est pas définie mathématiquement. Voyons deux explications.

Explication algébrique

L’algèbre est la discipline des mathématiques qui étudie les ensembles de nombres et les relations entre ces nombres.

Choisissons deux lettres de l’alphabet, au hasard $a$ et $b$, et disons que $a$ et $b$ sont des nombres entiers. Cela marche aussi avec des nombres entiers naturels ou des nombres réels, et en fait avec beaucoup d’autres objets.

Essayons de calculer le résultat de la multiplication de $a$ par $b$. Nous allons nous contenter d’écrire des égalités simples et voir où elles nous mènent :

$a.b=(a+0).b$ ;(1)

c’est bien vrai puisque, par définition, $a+0=a$. Si l’on développe la parenthèse de l’équation (1), on trouve :

$(a+0).b=a.b+0.b$ ;(2)

par conséquent, d’après (1) et (2) :

$a.b=a.b+0.b$ ;(3)

à partir de là, nous pouvons finalement simplifier en soustrayant $a.b$ des deux côtés de (3) :

$0=0.b$(4)

Que pouvons-nous en déduire ?

Il faut se rappeler que nous n’avons pas fixé la valeur de $b$ : ce peut être n’importe quel nombre… On a donc la preuve d’une règle bien connue : la multiplication de tout nombre par zéro donne zéro.

Remarquons que ça ne marche qu’avec zéro : aucun autre nombre multiplié par n’importe quel autre ne donne toujours le même résultat. C’est cela qui nous permet de retrouver la valeur de l’inconnue $x$ dans l’équation $6x=42$ : nous savons bien qu’il n’existe qu’une seule valeur de $x$ dont la multiplication par 6 donne 42 ; c’est 42 divisé par 6, c’est-à-dire 7 ! On voit bien que 42 divisé par 6, que l’on note 42/6, n’a qu’un seul résultat possible, puisque 7 n’est égal qu’à 7.

Mais lorsque nous multiplions par zéro ? Nous obtenons de toute façon zéro quel que soit l’autre nombre choisi. Reprenons notre égalité $0=0.b$. Si nous ne connaissons pas $b$ et si nous cherchons à le retrouver à partir d’une équation comme $6x=42$, nous avons alors une équation étrange : $0x=0$. Pour satisfaire cette équation, $x$ n’a plus une seule solution (comme tout à l’heure) mais peut prendre n’importe quelle valeur ! Laquelle est $b$ (« celle de départ ») ? On constate ainsi que la division par $0$ mène à l'absurde d'après la définition conventionnelle de la division.

Explication analytique

L’analyse est la discipline des mathématiques qui étudie les fonctions et leurs comportements (bijectivité, dérivabilité, limites, etc.).

Graphe de la courbe (rouge) de la fonction inverse $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ sur l’ensemble [-6 ; 6] privé de zéro

Article à lire : fonction.

Division de 1 par zéro

Fonction inverse

Il existe une fonction appelée fonction inverse qui, pour n’importe quel nombre réel $x$ (sauf zéro), transforme $x$ en $1/x$ (c’est-à-dire en l’inverse de $x$, que l’on peut écrire $x$⁻¹). La courbe de cette fonction inverse est tracée ci-contre, en rouge. Pour n’importe quel point de la courbe, le $x$ de départ est indiqué sur les graduations horizontales et le $1/x$ d’arrivée sur les graduations verticales (le point (0 ; 0) est au centre de la croix noire).

On remarque que plus on s’éloigne du centre du graphique, plus la fonction inverse renvoie des valeurs proches de zéro. En revanche, plus on se rapproche du centre (et donc de zéro), plus les valeurs renvoyées par la fonction sont grandes. D’ailleurs, on ne voit pas la courbe couper l’axe vertical situé en zéro. Pourquoi ?

Pour trouver la « hauteur » (l’ordonnée) de chaque point dans ce graphe, on divise 1 par l’« écartement par rapport à zéro » de ce point (son abscisse). Plus on se rapproche de zéro, plus cet écartement par rapport à zéro devient petit. Cependant, quand on divise une valeur fixe (ici 1) par une valeur variable de plus en plus petite (ici $x$, l’« écartement par rapport à zéro »), on obtient des nombres de plus en plus grands ! C’est pourquoi la courbe de la fonction inverse « grandit » quand on se rapproche de zéro.

Valeurs infiniment grandes

Par conséquent, plus $x$ se rapproche de zéro, plus $1/x$ est grand. En analyse, on travaille avec des nombres réels. Une propriété très importante de ces nombres est qu’entre n’importe quels réels $a$ et $b$ ($a<b$), il existe toujours un troisième réel $c$ tel que $a<c<b$. Imaginons maintenant que nous connaissions $1/b$ et que $a=0$. Dans ce cas, on sait que comme $c<b$ alors, forcément, $(1/c)>(1/b)$.

Et l’on peut continuer : il existe un réel $d$ tel que $0<d<c<b$ et donc, de la même façon, $(1/d)>(1/c)>(1/b)$, etc. Cela signifie que, pour n’importe quel nombre, on peut toujours en construire un plus grand en se rapprochant de zéro avec la fonction inverse.

 Finalement, la fonction inverse n’a pas de résultat pour zéro ?

Non. En se rapprochant de zéro « par la droite », la courbe de cette fonction va monter, monter, monter infiniment sans jamais couper la droite verticale $x=0$ (on appelle alors cette droite une asymptote). On peut le démontrer facilement par l'absurde :

Imaginons que la fonction inverse donne un résultat pour zéro, c’est-à-dire qu’il existe un réel $y$ tel que $1/0=y$. Comme $y$ est un nombre réel, il existe un nombre réel plus grand que lui, par exemple $y+1$. On peut noter $z=y+1$ pour faciliter. Dans ce cas, comme $y<z$, alors $(1/z)<(1/y)$, c’est-à-dire que $(1/z)<0$. Donc $1/z$ serait un nombre négatif (non nul) alors que $z$ est un nombre positif, ce qui est impossible.

L’hypothèse de départ, « la fonction inverse admet un résultat pour zéro », était donc fausse : 1/0 n’existe pas.

Infini

 Pourquoi ne pas plutôt dire que $1/0=\infty$ (l’infini) ?

Bien sûr, comme $1/0$ n'est pas défini, on peut penser qu’on pourrait lui donner quand même la valeur $\infty$, l’infini, puisque la fonction inverse tend vers l’infini quand son argument tend vers zéro. Pourtant, cela poserait deux problèmes :

1. d’abord, il n’existe pas un infini, mais plusieurs. En analyse, on distingue notamment $-\infty$ et $+\infty$. Sur le graphe précédent, $-\infty$ est ce vers quoi tend la fonction inverse lorsqu’on se rapproche de zéro par des valeurs négatives (« par la gauche »). On a le même phénomène que celui que nous avons vu pour des valeurs positives (« par la droite »), mais les nombres qui sont de plus en plus grands sont négatifs, d’où un « infini négatif ». On ne peut pas mélanger les deux : on voit bien qu’en zéro, la fonction inverse tend vers l’infini de deux manières différentes (positive et négative), et l’on ne peut pas dire que c’est vers le même résultat.
2. ensuite, la fonction inverse est définie comme une fonction qui a ses résultats dans l’ensemble des réels (privé de zéro) ; or cet ensemble ne contient pas d’élément $-\infty$ ni $+\infty$ ni même $\infty$ tout court. Cela dit, nous avons bien le droit de créer nous-mêmes un nouvel ensemble regroupant tous les nombres réels plus $-\infty$ et $+\infty$ ; mais, même dans cet ensemble, la division par zéro reste interdite ! En effet, tous les nombres réels produisent le même résultat (zéro) quand on les divise par $-\infty$ ou $+\infty$.

Division de n’importe quel nombre par zéro

Comme on peut « découper » tout nombre $x$ en $x$ × 1, la division de $x$ par zéro s’écrit :

${\frac {x}{0}}={\frac {x\times 1}{0}}=x\times {\frac {1}{0}}.$

Or, comme $1/0$ n’est pas définie, $x/0$ non plus, quel que soit $x$.

Sources

• (en) “Division by Zero” sur MathWorld.

Notes

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