Angle au centre et angle inscrit

Dans ce cercle,
BÂC est un angle inscrit,
BÔC est un angle au centre

Dans un cercle $\scriptstyle{\mathcal{C}}$ :

• Un angle au centre est un angle formé par deux rayons ;
• Un angle inscrit est l'angle formé par deux cordes.

Dans l'article, O le centre de $\scriptstyle{\mathcal{C}}$, et A, B et C sont des points du cercle $\scriptstyle{\mathcal{C}}$. Voyez les notations sur la figure ci-contre : l'angle BÔC est un angle au centre, et BÂC est un angle inscrit.

Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre

Dans un cercle, ou dans plusieurs cercles de même rayon, l'amplitude d'un angle au centre vaut le double de l'amplitude d'un angle inscrit qui intercepte le même arc.
$|B\hat AC| = 2|B\hat OC|$

Démonstration

En mathématiques comme en sciences, on avance une première hypothèse d'après des observations. On observe que le résultat précédent est vérifié dans un grand nombre de situations. Tu peux faire des dessins sur une feuille blanche, avec un compas et une règle, et utiliser un rapporteur pour mesurer les angles.

Cependant, pour pouvoir affirmer que ceci est vrai, il faut le démontrer.

Première étape

Supposons A et B diamétralement opposés. Par conséquent, O est le milieu de [AB]. O, A et B sont donc alignés. La somme des angles BÔC et CÔA vaut 90°.
Or, le triangle AOC est isocèle en O.

$2|C\hat AO| + |C\hat OA| = 180^\circ$
$2 |C\hat AO| = |B\hat OC|$

Ces affirmations vont nous aider pour la seconde étape de la démonstration que voici.

Seconde étape

À présent, reprenons le schéma en début d'article.

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