Équation

Une équation est une égalité qui n'est vérifiée que pour certaines valeurs données aux variables (que l'on appelle inconnues). Une équation est donc toujours formée de deux parties (de part et d'autre du signe « = »), nommées membres de l'équation.

Résoudre une équation, c'est trouver les valeurs (nombres, vecteurs, fonctions, etc.) qui transforment l'équation en une égalité.

Résoudre une équation d'inconnue x (nom de variable utilisé le plus régulièrement), c'est chercher toutes les valeurs telles qu'en remplaçant x par l'une d'entre elles, l'égalité devient vraie.

Par exemple, l'équation $\textstyle{x\times (2-x) = 0}$ (d'inconnue x) a deux solutions : 0 et 2.

Pourquoi ?

Comment obtient-on ces deux solutions ?

La seule façon d'obtenir 0 comme résultat d'une multiplication, c'est de multiplier l'un des nombres par zéro !
Ainsi, on peut être sûr que si x multiplié par (2 - x) égale zéro,

• soit x vaut zéro (car 0 × (2 - x) = 0)
• soit (2 - x) vaut zéro (car x × 0 = 0)

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Si l'on remplace x par 0 ou 2 (nos deux solutions) dans l'équation de départ, on obtient finalement « 0 = 0 » (ce qui est juste !). Cela permet de s'assurer que l'on a trouvé les bonnes solutions à l'équation.

L'équation d'inconnue a telle que $\textstyle{1 + 0 \times a = 0}$ est une équation sans solution.

Pourquoi ?

Eh bien, regardons cette équation de plus près :

1 + 0 × a = 0

« 0 × a » = 0 (car tout nombre multiplié par zéro donne zéro) donc on a :

1 = 0

... ce qui est mathématiquement faux ! Lorsque l'on obtient un résultat incohérent, comme celui-ci, c'est que l'équation n'a pas de solution.

Résumé des manipulations

Première équation

n°	Calcul	Résumé des opérations	Remarques
1	x(2 − x) = 0	On écrit l'équation.
2	x = 0 ou 2 − x = 0	On fait le raisonnement vu plus haut (produit de facteurs nuls).
3	x = 0 ou 2 = x	On isole x dans chaque équation (on le met seul dans un membre).	Un terme qui change de membre change de signe. Donc, x devient -x.
4	S = {0 ; 2}	On écrit la conclusion, c'est-à-dire les solutions qu'on a trouvées à l'équation.	S pour « solutions », les accolades pour dire qu'on va énumérer ces solutions, séparées par un point virgule.

Voir aussi

• Égalité (mathématiques)
• Inéquation
• Relation

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