Modulo

« Modulo » expliqué par Vikidia, l'encyclopédie pour les enfants.

Le modulo est une opération mathématique, au même titre que l'addition ou la division.

Il est pourtant normal que cette opération soit méconnue : à l'inverse des quatre autres opérations (addition, soustraction, multiplication et division), elle n'est pas très utilisée consciemment dans la vie courante.

[modifier] Principe

Le principe du modulo est limpide, mais prenons une horloge pour l'illustrer.

La petite aiguille de l'horloge avance d'une unité chaque heure : elle pointe sur 6 heures, puis, une heure plus tard, sur 7 heures. Mais nous parlons du modulo, et non de l'addition : lorsque cette même aiguille pointe sur 12 heures, elle ne désignera pas, une heure plus tard, 13 heures ! Sinon il faudrait un cadran infini, ce qui n'a pas beaucoup d'intérêt.

L'aiguille retourne en fait sur le 1. C'est un « retour à la case départ ». Et c'est le modulo !

Comment !? Mais où y a-t-il un modulo ???

C'est simple : l'horloge est un « modulo 12 », car, passé le nombre 12, le compte repart automatiquement à zéro. Nos horloges digitales (sur les micro-ondes ou les réveils, par exemple) sont plus souvent des « modulo 24 ».

Les années sont aussi des modulo : un jour après le 365^e jour, si l'année n'est pas bissextile, on est au 1^er jour ; c'est un exemple de modulo 365 (ou plutôt de modulo 365.25, pour prendre en compte les années bissextiles).

En somme, le modulo est un simple retour à zéro, le nombre qui le suit (par exemple 33 dans « modulo 33 ») étant la limite, le nombre à partir duquel le compte recommence.

[modifier] Utilités

On ne le croirait pas sans un article de Vikidia, mais les exemples d'utilisation du modulo sont (assez) nombreux :

il est utilisé inconsciemment pour toutes les durées cycliques, comme nous l'avons vu précédemment (heure, jour, année, ...)

sa capacité à réduire un nombre plusieurs fois, sans que le nombre de réductions soit connu (voir plus bas la partie « mathématiquement parlant »), en fait le candidat idéal pour différentes techniques de codage confidentiel (voir l'article consacré à RSA dans lequel le modulo tient une place importante) ; et cela aussi, on l'utilise tous les jours (Internet, service banquaire, commerce, ...)

en langage de programmation, le modulo (alors représenté par le symbole %) complète la division : lorsque l'on écrit 5 / 2 (5 divisé par 2), l'ordinateur compte bêtement « en 5, combien de fois 2 ? » ; il trouve 2 (2x2 = 4) et affiche fièrement à l'utilisateur la chose suivante : « 5 / 2 = 2 », ce qui, bien sûr, est une erreur monumentale. Le modulo permet alors de retrouver le reste de la division : 5 = 2x2+1, c'est le 1 que le modulo récupère. La calculatrice de Windows possède une touche « Mod », qui correspond au modulo ; testez (5 mod 2) et vous verrez qu'elle renvoit bien 1.

[modifier] Mathématiquement parlant

Voici l'algorithme du modulo, c'est-à-dire la façon shématisée dont il fonctionne :

Un modulo est donc une « soustraction en cascade » ; en français, on pourrait dire « Enlève le nombre A à mon nombre tant que celui-ci est supérieur au nombre A », A étant un nombre quelconque, celui choisi comme modulo.
Démonstration :

36 - 11 = 25

25 est-il plus petit que 11 ? Non, alors :

25 - 11 = 14

14 est-il plus petit que 11 ? Non, alors :

14 - 11 = 3

3 est-il plus petit que 11 ? Oui ! C'est le résultat de 36 mod. 11.

Son utilité dans les codes secrets : il permet de soustraire (et donc de transformer) un certain nombre de fois un nombre, mais le nombre de soustractions effectuées reste inconnu (et c'est là tout son intérêt) si l'on ne dispose pas du nombre de départ. Exemple :
J'applique un modulo 11 au nombre A, qui vaut au départ 36.
36 mod. 11 = 3
À présent, en oubliant la valeur de A (qui est 36), essayez de retrouver A si vous connaissez uniquement le résultat et le modulo : impossible de dire avec certitude « C'est celui-là ! », regardons pourquoi : A peut être égal à...

11 + 3 = 14
2x11 + 3 = 25
3x11 + 3 = 36 (la vraie valeur de A, mais vous n'avez aucun moyen de le savoir)
4x11 + 3 = 47
etc...

Cette particularité est utilisée en cryptographie (la science des codes secrets), avec un légère variante : une « faille » permet de retrouver le résultat.