Addition

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Une addition très simple !

L'addition est une opération élémentaire sur les entiers, decrivant la juxtaposition d'objets ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les aires, ou les volumes.

En particulier en physique, l'addition de deux grandeurs ne peut s'effectuer numériquement que si ces grandeurs sont exprimées avec la même unité de mesure.
Le résultat d'une addition est appelé une somme.

[modifier] Utilité

Les additions sont indispensables, et on s'en sert très souvent. Par exemple quand on achète quelque chose, on calcule l'argent qu'on doit donner au marchand en faisant l'addition des prix de tous les produits achetés.

[modifier] Addition des entiers naturels

L'addition des entiers naturels se conçoit intuitivement comme le dénombrement d'une réunion de collections d'objets. Ajouter quatre pommes à cinq pommes donne neuf pommes. Le résultat de l'addition est la quantité totale d'objets : il ne dépend pas de la nature de l'objet. Ainsi dit-on que 9 est la somme de 4 et de 5. On écrit :

Le signe + symbolise l'addition. 4 et 5 s'appellent les termes de l'addition. 9 s'appelle le résultat ou la somme. L'égalité « 4 plus 5 font 9 ».

		Le savais-tu ?
	Le signe +
Le signe « + » a été introduit a la fin du XVe siècle siècle. Avant, les gens utilisaient une lettre p avec une calligraphie particulière. La lettre p est l'initiale de plus. Le p formait une croix ; la croix est restée. D'autres notations sont aujourd'hui utilisées ; on peut par exemple écrire +(a, b). C'est la notation polonaise.

[modifier] Propriétés

• Changer l'ordre des termes dans une addition ne modifie pas le résultat. On dit que l'addition est commutative :

Exemple :

• 3 + 5 = 8 et 5 + 3 = 8.

• Changer ou placer des parenthèses dans une addition ne modifie pas le résultat. On dit que l'addition est associative :

Exemple:

• 5 + (8 + 2) = 5 + 10 = 15 ;
• (5 + 8) + 2 = 13 + 2 = 15.

• Additionner 0 à n'importe quelle valeur ne modifie pas le résultat. On dit que l'élément neutre de l'addition est 0 :

Exemple :

• (10 + 9) + 0 = 19 + 0 = 19.

[modifier] Poser une addition

Pour poser une addition entre un nombre fini d'entiers, il faut écrire les entiers les uns après les autres, en alignant les unités, les dizaines, les centaines,... Un trait est tiré. On effectue les opérations comme suit : Exemple : 3 893 + 299 + 2 456= ?

1 21
3 893
+ 299
+ 2 456
6 658 

Les retenues sont notées en vert.

1. Les calculs commencent à droite, par les unités : 3 + 9 +6 = 18 ; on pose 2 et on retient 1. On place le 1 au dessus des chiffres des dizaines.
2. 2 + 9 + 9 + 5 (ne pas oublier la retenue) = 25 ; on pose 5 et on retient 2. On place 2 au dessus des chiffres des dizaines.
3. 2 + 8 + 2 + 4 = 16 ; on pose 6 et on retient 1. On place 1 au dessus des chiffres des centaines.
4. 1 + 3 + 2 = 6 ; on pose 6.
5. Le résultat est 6 658.

Savoir poser une addition demande de connaître sa table d'addition.

[modifier] Calcul mental

Les propriétés, qui sont marquées ci-dessus, sont aussi très importantes pour le calcul mental. Élaborer des méthodes permettant d'accélérer les calculs demande une réflexion sur les propriétés de l'addition.

Par exemple, comme l'addition est associative et commutative, on peut regrouper les termes ensemble pour calculer plus rapidement :

• A = 9 + 8 + 4 + 1 + 16 + 12 ;
• A = (9 + 1) + (4 + 16) + (8 + 12) ;
• A = 10 + 20 + 20 ;
• A = 50.

On peut aussi remplacer des termes par des sommes, puis commuter les termes de l'addition et les regrouper par paquets :

• B = 17 + 8 + 3 + 2 ;
• B = (2 + 7 + 8) + 8 + 3 + 2 ;
• B = (8 + 2) + (7 + 3) + (8 + 2) ;
• B = 10 + 10 + 10 ;
• B = 30.

En fait, il est souvent plus intéressant de remplacer les termes par des différences (voir soustraction) :

• C = 99 + 47 + 18 ;
• C = (100 - 1) + (50 - 3) + (20 - 2) ;
• C = 100 + 50 + 20 - 6 ;
• C = 270 - 6 ;
• C = 164.

Autre exemple :

• D = 47 + 191 + 72 ;
• D = 47 + (190 + 1) + (70 + 2) ;
• D = 50 + 190 + 70 ;
• D = 50 + 200 + 60 ;
• D = 310.

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