Équation aux dimensions

« Équation aux dimensions » expliqué par Vikidia, l'encyclopédie pour les enfants.

Une équation aux dimensions est, en physique ou en mathématiques, une manière de calculer l'unité physique à attribuer au résultat d'un calcul. En d'autres termes, une équation aux dimensions permet de répondre à la question « quelle grandeur physique suis-je en train d'évaluer ? ».

[modifier] Principe et vocabulaire

Dans une équation en physique, on considère que les deux membres de l'équation sont homogènes. C'est-à-dire que si on peut écrire une égalité entre A et B, cela signifie que A et B expriment la même grandeur physique, et s'écrivent donc dans la même unité. On réduit une équation aux dimensions comme on peut réduire les puissances, en considérant que a. a^-1=a⁰=1.

Par convention, on note les unités entre crochets, avec par exemple, le temps [T], la masse [M], la longueur [L], mais aussi la surface [L]², le volume [L]³, la masse volumique [M].[L]^-3, la vitesse [L].[T]^-1...

[modifier] Exemple

Si on considère que le temps t de cuisson d'un poulet est fonction :

directe de la longueur l ;
inverse de la température t du four ;
directe de sa masse m ;
d'un coefficient k.

On peut écrire : t=(l.m. k) /t

Question : quelle est l'unité du coefficient k ?

Réponse : on écrit l'équation aux dimensions de l'égalité ci-dessus. [T]=[L].[M].[L].[theta]^-1.[k] avec [T] désignant l'unité de temps, [theta] l'unité de température, [M] l'unité de masse, [L] l'unité de distance, et [k] l'unité de k.

On peut écrire [k]=[T].[theta].[M]^-1.[L]^-1. On en conclut que k exprime des secondes. degrés celsius par mètre et par kilogramme, soit par exemple s. K/m/kg.

Cet exemple fictif illustre l'utilité d'une équation aux dimensions lors d'un calcul, pour être certain de l'unité dans laquelle exprimer son résultat. Par ailleurs, lorsqu'on pose une équation, on peut également poser son équation aux dimensions, pour vérifier que les deux membres (de chaque coté de l'égalité) ont bien des grandeurs homogènes.